约化群中的维数数据、局部与全局共轭

设 G 为一个连通约化群（定义在 $\mathbb{C}$ 上），H 为一个连通半单子群。H 的维数数据（相对于其在 G 中的给定嵌入）是数值集合 $\{{\rm dim} V^{H}\}$，其中 V 遍历 G 的所有有限维表示。根据 Larsen-Pink 定理 ([L-P90])，维数数据在同构意义上确定 H，若 G = GL (n) 甚至可在共轭意义上确定。Langlands 教授提出了这样一个问题：强（共轭）结果是否对任意 G 成立。在本文中，我们给出了以下（否定）回答：若 H 是 A_{4 n}、$B_{2 n} (n \geq 2)$、$C_{2 n} (n \geq 2)$、E_{6}、E_{8}、F_{4} 和 G_{2} 型的单群，则存在（对于适当的 $N$）将 H 嵌入 $G = SO (2 N)$ 的嵌入对 i 和 i'，使得它们的像 i (H) 和 i' (H) 具有相同的维数数据但不共轭。事实上，我们已证明 i (H) 和 i' (H) 是\emph{局部共轭}的，即对于所有半单 $h \in H$，i (h) 和 i' (h) 在 G 中共轭。如果假设函子性，这一结果将表明此类 G 在全球域上的自守形式不满足重数一性质。这类现象在不连通情形中是已知的，特别是当 H 为有限群时，如 Blasius [Blasius94] 关于 $SL (n) (n \geq 3)$ 的工作以及 Gan-Gurevich-Jiang2002 ([Gan]) 关于 G_{2} 的工作。