连通约化代数 k-群中极大秩的极大连通 k-子群

设 $k$ 为任意域，$G$ 为连通约化代数 $k$-群。与 $G$ 相关联的一个不变量首先由 Satake 与 Tits 研究，称为 $G$ 的指数（带某些附加组合信息的 Dynkin 图）。Tits 证明了 $G$ 的 $k$-同源类由其指数与各向异性核 $G_a$ 的 $k$-同源类唯一确定。对于 $G$ 绝对单的情形，Satake 与 Tits 分类了 $G$ 指数的所有可能性。设 $H$ 为 $G$ 中极大秩的连通约化 $k$-子群。我们引入 $H$ 在 $G$ 中的 $G(k)$-共轭类的一个不变量，称为 $H$ 在 $G$ 中的指数嵌入。它由 $H$ 的指数与 $G$ 的指数以及满足特定相容条件的嵌入映射组成。我们在 $G$ 的 $k$-子群集合上引入一种称为指数共轭的等价关系，并观察到 $H$ 在 $G$ 中的 $G(k)$-共轭类由其指数共轭类与 $H_a$ 在 $G$ 中的 $G(k)$-共轭类确定。我们证明 $H$ 在 $G$ 中的指数共轭类由其指数嵌入唯一确定。对于 $G$ 为例外型绝对单且 $H$ 在 $G$ 中连通极大的情形，我们分类了 $H$ 在 $G$ 中指数嵌入的所有可能性。最后，我们建立若干存在性结果。特别地，我们考虑当 $k$ 具有上同调维数 $1$（相应地 $k=R$、$k$ 为 $p$-进）时哪些指数嵌入存在。