有限域上某些超椭圆曲线的有理点

设 $K$ 为一个域,$a,b\in K$ 且 $ab\neq 0$。考虑多项式 $g_{1}(x)=x^n+ax+b$,$g_{2}(x)=x^n+ax^2+bx$,其中 $n$ 为固定的正整数。本文证明,对每个 $k\geq 2$,由方程 \begin{equation*} S_{k}^{i}: u^2=\prod_{j=1}^{k}g_{i}(x_{j}),\quad i=1, 2. \end{equation*} 定义的簇包含一条有理曲线。利用上述结论以及 Woestijne 的近期结果 \cite{Woe},我们展示了如何在多项式时间内,在有限域上定义的曲线 $C_{i}:y^2=g_{i}(x), (i=1, 2)$ 上构造一个不同于无穷远点的有理点。