零模计数公式与轨道折叠紧致化中的零点

受 Atiyah-Singer 指标定理启发，我们深入分析了具有磁流背景的环面轨道折叠 $T^2/\mathbb{Z}_N$（$N = 2, 3, 4, 6$）上独立零模的数量及其零点。我们首先给出属于 $\mathbb{Z}_{N}$ 本征值 $\eta$ 的轨道折叠零模数 $n_{\eta}$ 的完整列表。由于 $n_{\eta}$ 相当复杂地依赖于磁通量子数 $M$、Scherk-Schwarz 扭曲相位 $(\alpha_1, \alpha_2)$ 以及 $\mathbb{Z}_{N}$ 本征值 $\eta$，似乎难以用简单公式对 $n_{\eta}$ 作普适解释。然而，我们成功找到了一个统一的零模计数公式 $n_{\eta} = (M-V_{\eta})/N + 1$，其中 $V_{\eta}$ 表示轨道折叠 $T^2/\mathbb{Z}_N$ 上不动点处绕数之和。该公式被证明适用于任意构型。