地形为何具有分形特征？

地球地形线性剖面的功率谱 S 常观测为波数 k 的幂律函数，指数接近 -2：S(k) 正比于 k^-2。此外，河流网络为分形树，其形态组分间满足诸多幂律或分形关系。本文给出由侵蚀过程演化地球地形的模型方程，其产生分形地形与分形河流网络，并将其解与现实地形详细比较。该模型为坡面与河道中泥沙输移的扩散方程，其局部扩散率正比于流量的平方。扩散率对流量的依赖源自泥沙输移的基本方程。我们以两种方式研究该模型。在第一种分析中，将扩散率参数化为地形的函数，并进行泰勒展开，得到地形高程的微分方程，其中包含至高程一阶的空间变化扩散率。该方程之解为自仿射或分形曲面，其线性剖面具有功率谱 S(k) 正比于 k^-1.8，与地形年龄无关，与观测一致。模型产生的地势高程分布偏态，低地面积大于高地，一如真实地形。在第二种分析中，我们通过计算……（摘要见原文续）在数值模拟中显式纳入河流网络。