球面三角形的 Whitney 形式 I：Euler、Cagnoli 和 Tuynman 面积公式、重心坐标及外微分构造

我们建立了球面三角形的 Tuynman 中点面积公式与 Euler 和 Cagnoli 经典面积公式的等价性。该推导还导出了用中点三角形表示的 Cagnoli 公式的一个变体。我们将球面三角形内一点的重心坐标定义为面积比，其和为 1。重心坐标是 Whitney 0-形式，即与每个顶点相关联的定义在三角形域上的标量函数。随后，通过对重心坐标进行外微分，我们构造了与每条测地线边（或大圆弧）相关联的 Whitney 1-形式的简洁表达式。Euler 公式与 Tuynman 公式结合，便于对三角形面积关于顶点位置进行微分。由于 Euler 和 Tuynman 公式均可自然地用嵌入球面上顶点的位置向量表示，因此 Whitney 构造可以用向量值形式完成，而无需依赖特定的投影或坐标图。最后，我们展示了三角形的 Whitney 2-形式，它必须是标量函数与球面面积 2-形式的乘积。我们找到了该标量函数的表达式，它由顶点位置向量构成的 $3 \times 3$ 矩阵的行列式表示。它是点笛卡尔坐标的有理函数。根据构造，它在三个顶点的循环置换下必须是不变的，尽管这一点并不显而易见。同样根据构造，Whitney 2-形式在三角形上的积分必须为 1。因此，当限制在球面上时，该有理函数在其三角形上是精确可积的。