当大数定律对随机置换的递增子列失效时

令随机变量 $Z_{n,k}$ 表示来自 $S_n$（即 $\{1,...,n\}$ 的置换的对称群）的一个随机置换中长度为 $k$ 的递增子列的个数。在最近的一篇论文 [Random Structures Algorithms 29 (2006) 277--295] 中，我们证明了若 $k_n=o(n^{2/5})$，则 $Z_{n,k_n}$ 的弱大数定律成立；即 $$\lim_{n\to\infty}\frac{Z_{n,k_n}}{EZ_{n,k_n}}=1\qquad in probability.$$ 那里的证明方法使用了二阶矩方法，并表明若条件 $k_n=o(n^{2/5})$ 不成立，该方法无法奏效。由关于随机置换的最长递增子列的结果可知，若 $k_n\ge cn^{1/2}$（其中 $c>2$），则 $Z_{n,k_n}$ 的大数定律不可能成立。推测存在一个临界指数 $l_0$，使得若 $k_n=O(n^l)$（其中 $l<l_0$）则大数定律成立，而若对某个 $l>l_0$ 有 $\limsup_{n\to\infty}\frac{k_n}{n^l}>0$ 则不成立。关于递增子列的若干相变出现在 $l=1/2$ 处，这将暗示 $l_0={1/2}$。然而，在本文中，我们证明了若 $\limsup_{n\to\infty}\frac{k_n}{n^{4/9}}=\infty$，则 $Z_{n,k_n}$ 的大数定律失效。因此，该临界指数（若存在）必满足 $l_0\in[{2/5},{4/9}]$。