双层势何时等于单层势？

设 $D$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中具有闭、光滑、连通边界 $S$ 的有界域，$N$ 为 $S$ 的外单位法向量，$k>0$ 为常数，$u_{N^{\pm}}$ 分别为 $u$ 在 $S$ 上从 $D$ 及 $D':=\mathbb{R}^3\setminus D$ 出发的法向导数的极限值；$g(x,y)=\frac{e^{ik|x-y|}}{4\pi |x-y|}$，$w:=w(x,\mu):=\int_S g_{N}(x,s)\mu(s)ds$ 为双层势，$u:=u(x,\sigma):=\int_S g(x,s)\sigma(s)ds$ 为单层势。本文证明了对于任意 $w$ 存在唯一的 $u$，使得在 $D$ 中 $w=u$，反之亦然。给出了给定 $D'$ 中的 $w$ 时 $u$ 的存在性条件及在 $D'$ 中 $w=u$ 的关系，以及给定 $D'$ 中的 $u$ 时 $w$ 的存在性条件及在 $D'$ 中 $w=u$ 的关系的必要充分条件。