一个 $S_n$-轨道有多大比例可位于超平面上？

考虑 $S_n$ 通过置换坐标在 $\mathbb{R}^n$ 上的作用。本文研究如下问题：计算 $\max_{v,H} |H\cap S_nv|$，其中 $H\subset\mathbb{R}^n$ 取遍所有过原点的超平面，$v\in\mathbb{R}^n$ 取遍所有坐标互异且不包含在超平面 $\sum x_i=0$ 中的向量。我们猜想，对于 $n\geq3$，当 $n$ 为奇数时答案为 $(n-1)!$，当 $n$ 为偶数时答案为 $n(n-2)!$。我们证明，若 $p$ 是满足 $p\leq n$ 的最大素数，则 $\max_{v,H} |H\cap S_nv|\leq \frac{n!}{p}$。特别地，这证明了当 $n$ 或 $n-1$ 为素数时的猜想。