Weyl 群不变的 $E_8$ Jacobi 形式

我们研究对 Weyl 群不变的、对应于根系 $E_8$ 的 Jacobi 形式。这类 Jacobi 形式在 Frobenius 流形、Gromov--Witten 理论与弦论中具有重要意义。1992 年，Wirthmüller 证明了对于任意非 $E_8$ 型的不可约根系，其 Jacobi 形式空间是一个多项式代数。但对于 $E_8$ 的情形所知甚少。本文中我们证明 Weyl 群不变的 $E_8$ Jacobi 形式的分次环不是一个多项式代数，并证明每一个这样的 Jacobi 形式都可唯一地表示为由 Sakai 引入的九个代数无关 Jacobi 形式的多项式，其系数是亚纯的 SL(2,Z) 模形式。后一结果意味着固定指标的 Weyl 群不变 $E_8$ Jacobi 形式空间是 SL(2,Z) 模形式环上的自由模，且生成元个数可由一个生成级数算出。我们确定并构造了小指标下的所有生成元。这些结果给出了 Chevalley 型定理在 $E_8$ 情形下的恰当推广。