一类广义 Klein-Gordon-Schrödinger 系统的适定性结果

我们考虑 Klein-Gordon-Schrödinger 系统 \begin{align*} i \partial_t \psi + \Delta \psi & = \phi^2 \psi - \phi \psi \\ (\Box +1)\phi & = -2|\psi|^2 \phi + |\psi|^2 \end{align*} 并带有附加三次项，以及柯西数据 $$\psi(0) = \psi_0 \in H^s({\mathbb R}^n) \, , \, \phi(0) = \phi_0 \in H^k({\mathbb R}^n) \, , \, (\partial_t \phi)(0) = \phi_1 \in H^{k-1}({\mathbb R}^n)$$ 于空间维数 $n=2$ 与 $n=3$。我们针对低正则性数据在 Bourgain-Klainerman-Machedon 空间中证明局部存在性、唯一性与对数据的连续依赖性，例如对 $n=2$ 情形 $s=-\frac{1}{8}$、$k=\frac{3}{8}+\epsilon$，以及对 $n=3$ 情形 $s=0$、$k=\frac{1}{2}+\epsilon$。能量空间中的整体适定性也作为特例获得。此外，我们证明在空间中 $\psi \in C^0([0,T],H^s) \, , \, \phi \in C^0([0,T],H^{s+\frac{1}{2}}) \cap C^1([0,T],H^{s-\frac{1}{2}})$ 的“无条件”唯一性，若对 $n=2$ 有 $s > \frac{3}{22}$，对 $n=3$ 有 $s > \frac{1}{2}$。