算术-几何平均值不等式与 Zaremba 函数的加权形式

我们利用算术-几何平均值不等式的加权形式来激发关于 Zaremba 函数 $z(n) = \sum_{d|n} \frac{\log d}{d}$ 的新结果。我们研究了 $z(n)$ 及相关函数 $v(n) = \frac{z(n)}{\log \tau(n)}$ 的创纪录值，其中 $\tau(n)$ 是 $n$ 的约数个数。我们证明了 $v(n)$ 取得最大值，并给出了 $v(n)$ 所有创纪录值的列表。紧密相关的不等式激发了对在强意义上为伪完全数的数的研究。