加权等周比与分数阶共形拉普拉斯的延拓问题

我们研究了加权等周问题与非局部椭圆算子延拓问题的加权泊松积分之间的一个新联系。我们首先推导了半空间和单位球上退化椭圆方程相关联的加权泊松积分的尖锐不等式，并分类了其极值元。这些方程源于欧几里得空间上分数阶拉普拉斯算子的 Caffarelli-Silvestre 延拓，以及通过 M"obius 变换实现的共形变换。接下来，我们从共形几何的观点解释上述尖锐不等式。为此，我们在一个由共形紧爱因斯坦（CCE）流形诱导的光滑度量测度空间上，提出了一个涉及加权等周比的变分问题。然后，我们证明该变分问题与 CCE 流形共形无穷远上的分数阶共形拉普拉斯的 Chang-Gonz\'alez 延拓密切相关，并且当 CCE 流形为 Poincar\'e 半空间或球模型时归约为该尖锐不等式。我们还找到了一个准则，确保变分问题光滑极值元的存在，并给出一个相关猜想。