一类 $p$ 进制码的权重分布

设 $p$ 为素数，$N$ 为正整数，使得 $p$ 是 $N$ 的原始根。定义 $q = p^e$，其中 $e = \phi(N)$，记 $\mathbb{F}_q$ 为阶为 $q$ 的有限域，$\mathbb{F}_p$ 为其素子域。记 $\mathrm{Tr}$ 为从 $\mathbb{F}_q$ 到 $\mathbb{F}_p$ 的迹函数。对于 $\alpha \in \mathbb{F}_p$ 和 $\beta \in \mathbb{F}_q$，设 $D$ 为方程 $\mathrm{Tr}(x^{\frac{q-1}{N}} + \beta x) = \alpha$ 的非零解集合。若 $D = \{d_1, \ldots, d_n\}$，则定义码 $\mathcal{C}_{\alpha,\beta} = \{(\mathrm{Tr}(d_1 x), \ldots, \mathrm{Tr}(d_n x)) : x \in \mathbb{F}_q\}$。本文研究 $\mathcal{C}_{\alpha,\beta}$ 的权重分布，其中 $\alpha \in \mathbb{F}_p$，$\beta \in \mathbb{F}_q$，重点关注一般奇素数 $p$。当 $\beta = 0$ 时，证明 $\mathcal{C}_{\alpha,0}$ 对任意 $\alpha \in \mathbb{F}_p$ 都是两权码，并计算其权重分布。当 $\beta \neq 0$ 时，确定 $\mathcal{C}_{\alpha,\beta}$ 中 codewords 的所有可能权重，证明其最多有 $p+1$ 个不同的非零权重。此外，证明对称码 $\mathcal{C}_{0,0}^{\perp}$ 对于球面包绕界是最优的。这些结果将先前结果推广至任意奇素数 $p$ 的更广泛情形。