由自对偶性、通量和超对称性得到的（弱）G₂和乐

本文的目的有两个。首先，我们提供一个简单且具有教学性的讨论，说明保持四维超对称性的M理论或超引力紧致化如何自然地导致约化的和乐群或其推广——约化的弱和乐群。我们将（共形）Killing旋量的存在性与某些闭且余闭的p-形式的存在性联系起来，并与度量是Ricci平坦或Einstein流形联系起来。然后，对于七维流形，我们证明自旋联络上的八元数自对偶条件等价于G₂和乐，而某些广义自对偶条件等价于弱G₂和乐。后者可以提升为余齐次为一的spin(7)度量的自对偶条件。为了展示这种方法的力量，我们给出了几个例子，其中自对偶条件大大简化了G₂或弱G₂度量的推导。