图上的游走及其与张量不变量和中心化子代数的联系

由有限群 $\mathsf{G}$ 和 $\mathsf{G}$-模 $\mathsf{V}$ 确定的表示图（McKay 箭图）上从节点 $\mathsf{0}$ 到节点 $\lambda$ 的 $k$ 步游走数量，等于不可约 $\mathsf{G}$-模 $\mathsf{G}_\lambda$ 在张量幂 $\mathsf{V}^{\otimes k}$ 中的重数，同时也等于中心化子代数 $\mathsf{Z}_k(\mathsf{G}) = {\mathsf{End}}_\mathsf{G}(\mathsf{V}^{\otimes k})$ 中标记为 $\lambda$ 的不可约模的维数。本文探讨了利用 $\mathsf{G}$ 的特征理论有效计算该数量的方法。我们确定了相应的 Poincar\'e 级数。特殊情况 $\lambda = \mathsf{0}$ 给出了张量不变量 $\mathsf{T}(\mathsf{V})^\mathsf{G} = \bigoplus_{k =0}^\infty (\mathsf{V}^{\otimes k})^\mathsf{G}$ 的 Poincar\'e 级数。当 $\mathsf{G}$ 为阿贝尔群时，我们证明游走数量的指数生成函数是广义双曲函数的乘积。许多图（如循环图）可视为表示图，此处提出的方法为计算其上的游走数量提供了高效途径。