离散 del Pezzo 表面退化中的 Wahl 奇点

对于任意固定的 $1 \leq \ell \leq 9$，我们描述了在度为 $\ell$ 的离散 del Pezzo 表面的退化中出现的 Wahl 奇点。这扩展了 Manetti 以及 Hacking-Prokhorov 在度为 9 处的工作，在该工作中使用马尔可夫方程对 Wahl 奇点进行分类。为实现此目标，我们引入带标记的 del Pezzo Wahl 链。它们定义一族标记的 del Pezzo 表面 $W_{*m}$，用于支配所有此类退化。我们还证明了每个标记的 del Pezzo 表面都退化为一个规范定义的toric del Pezzo 表面，仅含有 T-奇点。此外，我们建立了 $W_{*m}$ 表面与某些伪加权射影平面之间的一一对应关系。作为应用，我们说明每个 Wahl 奇点都出现在度 $\leq 4$ 的 del Pezzo 表面上，但度 $\geq 5$ 的 del Pezzo 表面却存在无限多个 Wahl 奇点。我们还利用 Hacking 的异常集合提供几何证明，说明 Polishchuk 和 Rains 在 del Pezzo 表面上的异常向量束的最新结果。