魔群李代数中虚 $\mathfrak{gl}_2$ 子代数的顶点算子

魔群李代数 $\mathfrak m$ 是顶点代数 $V=V^\natural\otimes V_{1,1}$ 的物理空间的商，其中 $V^\natural$ 是 Frenkel、Lepowsky 和 Meurman 的月光模顶点算子代数，$V_{1,1}$ 是对应于秩 2 偶幺模格 $\textrm{II}_{1,1}$ 的顶点代数。我们构造了顶点代数元素，它们投影到 $\mathfrak m$ 中与 $\mathfrak{gl}_{2}$ 同构的子代数的基上，对应于每个虚单根，记为 $(1,j)$（$j>0$）。我们的方法需要 $V^{\natural}$ 中存在满足某些自然条件的素向量对，我们证明了这一点。我们证明魔群有限单群 $\mathbb{M}$ 在 $V^\natural$ 中素向量子空间上的作用诱导了 $\mathbb{M}$ 在对应于固定虚单根的 $\mathfrak{gl}_2$ 子代数集合上的作用。我们利用 $V^\natural$ 的素向量子空间维数的生成函数证明，对于较小的 $j$ 值，该作用是非平凡的。