多样避子空间族

我们引入构造显式多样避子空间族（variety evasive subspace families）的问题。给定射影或仿射空间的子簇族 $\mathcal{F}$，若对每一个 $\mathcal{V}\in\mathcal{F}$，除至多 $\epsilon$ 比例的 $W\in\mathcal{H}$ 外，其余所有 $W$ 均以（至多）期望维数与 $\mathcal{V}$ 的每个不可约分支相交，则射影或仿射 $k$-子空间集合 $\mathcal{H}$ 是 $(\mathcal{F},\epsilon)$-避子的。构造此类显式子空间族的问题推广了确定性黑盒多项式恒等式测试（PIT）以及构造显式（弱）无损秩压缩器的问题。利用 Chow 形式，我们构造了多项式大小的显式 $k$-子空间族，其对射影或仿射 $n$-空间中所有有界次簇都是避子的。作为一个应用，我们获得了射影或仿射 $n$-空间中低次簇的 Noether 正规化引理的完全去随机化。在另一应用中，我们获得了针对具有有界顶层扇入和底层扇入且不属于 Sylvester-Gallai 构型的深度-4 算术电路的简单多项式时间黑盒 PIT 算法，改进并简化了 Gupta（ECCC TR 14-130）的结果。作为显式构造的补充，我们证明了对射影 $n$-空间中 $d$ 次簇避子的 $k$-子空间族大小的下界。当 $n-k=n^{\Omega(1)}$ 时，除非 $d$ 有界，否则下界为超多项式的。证明使用了对参数化射影子簇的 Chow 簇的维数计数论证。