Mumford 接触次数与丢番图逼近

Schmidt 子空间定理断言，射影空间中某些特定丢番图逼近系统的解会聚积在有限多个真线性子空间上。给定射影空间 $P^n$ 的一个子簇 $X$，是否存在 $P^n$ 上的一个丢番图逼近系统，其解在 $P^n$ 中 Zariski 稠密，但落在 $X$ 的有限多个真子簇中？人们可以利用 G. Faltings 和 G. Wüstholz 的一个定理来洞察这一问题。他们的构造要求某个期望值和必须很大的假设。该和式被证明与簇 $X$ 上加权旗截面的接触次数成正比。这一不变量度量了在适当约化代数群作用下 $X$ 的 Chow（或 Hilbert）点的半稳定性。因此，Faltings-Wüstholz 定理中的下界可以翻译成 GIT（几何不变理论）语言。这意味着，为了说明 $X$ 上的一个丢番图逼近系统不受 Schmidt 子空间定理控制，我们必须检验某个大 $s>0$ 下 $X^s$ 的 Chow 不稳定性。