无穷可分分布与正态分布之间的变差比较

设$X$为具有有限二阶矩的随机变量。我们研究不等式:$P\{|X-E[X]|\le \sqrt{{\rm Var}(X)}\}\ge P\{|Z|\le 1\}$,其中$Z$为标准正态随机变量。我们证明该不等式对许多常见的无穷可分连续分布成立,包括Laplace、Gumbel、Logistic、Pareto、无穷可分Weibull、对数正态、学生$t$和逆高斯分布。数值结果表明,带连续性修正的该不等式对某些无穷可分离散分布也成立。