随机单纯复形上同调群的消失

我们考虑由二项随机 $(k+1)$-一致超图取向下闭包生成的 $k$ 维随机单纯复形，其中 $k\geq 2$。对于每个 $1\leq j \leq k-1$，我们确定了从一维到 $j$ 维以 $\mathbb{F}_2$ 为系数的所有上同调群何时消失，且零维上同调群同构于 $\mathbb{F}_2$。该性质在此随机复形模型下并非确定性单调的，但我们仍证明其具有单一的尖锐阈值。此外，我们证明了一个命中时间(hitting time)结果，将这些上同调群的消失与最后一个极小阻碍的消失联系起来。我们还研究了在临界窗口内第 $j$ 维上同调群维数的渐近分布。作为推论，我们推导了 [Linial and Meshulam, Combinatorica, 2006] 中引入的另一随机单纯复形模型的命中时间结果，该结果此前仅对二维已知 [Kahle and Pittel, Random Structures Algorithms, 2016]。