Hirzebruch 曲面上 Lelong 数的上水平集

令 $\mathbb F_a$ 表示 Hirzebruch 曲面,$\mathcal{T}_{\alpha,\alpha^{\prime}}(\mathbb{F}_{a})$ 表示 $\mathbb{F}_{a}$ 上上同调类为 $\alpha F+\alpha^{\prime} H$ 的正闭 $(1,1)$-流形的集合,其中 $F$ 和 $H$ 生成 $\mathbb F_a$ 的 Picard 群。$E^+_{\beta}(T)$ 表示 $T\in \mathcal{T}_{\alpha,\alpha^{\prime}}(\mathbb{F}_{a})$ 的 Lelong 数 $\nu(T,x)$ 的上水平集。当 $a=0$ 时($\mathbb F_a=\mathbb P^1\times \mathbb P^1$),对于任意流形 $T\in \mathcal T_{\alpha,\alpha'}(\mathbb P^1\times \mathbb P^1)$,我们证明 $E^{+}_{(\alpha+\alpha')/3}(T)$ 包含于一个总次数 $2$ 的曲线中,可能除外 $1$ 个点。对于任意流形 $T\in \mathcal T_{\alpha,\alpha'}(\mathbb F_a)$,我们证明 $E^{+}_{\beta}(T)$ 包含于一个双次数 $(0,1)$ 的曲线中,或包含于 $a+1$ 个双次数 $(1,0)$ 的曲线中,其中 $\beta\geq (\alpha + (a+1)\alpha^{\prime})/(a+2)$。