稀疏向量与低秩矩阵恢复误差的上界

给定一个欠定线性系统 $\mathbf{b} = \mathbf{A} \mathbf{x}$ 的一个解 $\widetilde{\mathbf{x}}$。$\widetilde{\mathbf{x}}$ 是近似稀疏的，即相较于其他较小项，它只有少数几个大分量。然而，$\widetilde{\mathbf{x}}$ 的非零分量总数足够大，以至于违背了最稀疏解唯一性的任何条件。另一方面，如果仅考虑主导分量，则它将满足唯一性条件。直观上预期 $\widetilde{\mathbf{x}}$ 与真实稀疏解 $\mathbf{x}_0$ 不应相距太远。我们通过给出 $\| \widetilde{\mathbf{x}} - \mathbf{x}_0\|$ 的一个上界证明了这一直觉，该上界是 $\widetilde{\mathbf{x}}$ 的小分量幅值的函数，但与 $\mathbf{x}_0$ 无关。此结果被推广到 $\mathbf{b}$ 受噪声扰动的情形。此外，我们将该上界推广至低秩矩阵恢复问题。