多项式斜积族中的罕见交集

受模空间中理性映射罕见交集研究的启发，本文首次研究了正则多项式斜积族的代数动力学。我们的目标有三个。(1) 我们对二次正则多项式斜积的模空间中的特殊位置进行了分类——这些位置包含一个扎里斯基稠密的、后临界有限点集。更精确地说，特殊位置包括齐次多项式自同态族、分裂自同态族以及形如 $(x^2,y^2+bx)$ 的多项式自同态，在共轭意义下。作为推论，我们验证了 Zhong 提出的一个猜想的特殊情形。(2) 设 $F_t$ 是定义在数域 $K$ 上的正则多项式斜积族，$P_t, Q_t\in K[t]\times K[t]$ 是两个初始标记点。我们引入了一个由准射影簇的 adelic 线丛理论构造的良好高度 $h_{P_t}(t)$。我们证明，参数 $t_0\in \overline{K}$ 的集合使得 $P_{t_0}$ 和 $Q_{t_0}$ 同时为 $F_{t_0}$-预周期点，当且仅当 $h_{P_t}=h_{Q_t}$。(3) 作为 $h_{P_t}$ 的一个应用，我们证明：在 $P_t$ 的某些次数条件下，如果存在参数 $t_0$ 的无限集使得标记点 $P_{t_0}$ 在 $F_{t_0}$ 下预周期，那么 $P_t$ 的前向轨道的扎里斯基闭包位于 $\mathbb{P}^2$ 的真子簇中。作为附带结果，我们有条件地验证了 DeMarco--Mavraki 猜想的一个特殊情形，该猜想是动力学 Manin-Mumford 猜想的相对版本。