关于多个耦合正定矩阵模型的普适性猜想与结果

本文包含两个主要部分：在第一部分中，我们分析了 $p\geq 2$ 个矩阵在柯西相互作用下链式耦合的一般情况。类似于 Itzykson-Zuber 相互作用模型，柯西链的特征值形成一个多层行列式点过程。我们首先用柯西双正交多项式计算所有相关函数，并将它们定位为黎曼 - 希尔伯特问题 (Riemann-Hilbert problem) 的 $(p+1)\times (p+1)$ 矩阵值解中的特定条目。在第二部分中，我们将外部势固定为经典的拉盖尔权重。随后，当平衡测度的支撑集包含原点时，我们推导了柯西双正交多项式的强渐近性。结果，我们获得了一类新的多层随机行列式点场的普适性类，其中包括 $1$ 层的 Bessel$_\nu$ 普适性和 $2$ 层的 Meijer-$G$ 普适性。我们的分析使用了 Deift-Zhou 非线性最速下降法，并利用 Meijer G 函数显式构造了 $(p+1)\times (p+1)$ 原点参数阵 (parametrix)。完整黎曼 - 希尔伯特问题的解仅在 $p=3$ 时得到了严格推导，但证明的一般框架可扩展至任意长度 $p$ 的柯西链。