相干态的普适叠加与自相似势

考虑了谐振子的一类相干态。它由正则相干态的特定叠加构成。在最简单情形下，这些叠加是湮灭算符 $A=P(d/dx+x)/\sqrt2$ 的本征函数，其中 $P$ 为宇称算符。这样的 $A$ 在某一服从 $q$-Weyl 代数 $AA^\dagger-q^2A^\dagger A=1$ 的特定自相似势的对称算符的 $q\to -1$ 极限中自然出现。分析了该势以及其他离散谱由 $N$ 个几何级数构成的无反射势的相干态。在谐振子极限下，这些态的留存部分取为 $N$ 个正则相干态 $|\epsilon^k\alpha\rangle$ 的正交归一叠加形式，$k=0, 1, \dots, N-1$，其中 $\epsilon$ 为 $N$ 次单位原根，$\epsilon^N=1$。描述了一类与双侧 $q$-超几何级数和 Ramanujan 型积分相关的 $q$-相干态。它包含一组自由非相对论粒子的奇特相干态，被解释为无离散谱的 $q$-代数系统。发现自相似势对称代数的一种特殊退化形式，提供了 Floquet 理论的天然 $q$-类比。从微分 Galois 理论视角讨论了全文使用的因式分解法的一些性质。