泛二次型与无限数域的 Northcott 性质

我们证明，若在一个无限次、全实的有理数域 $\mathbb{Q}$ 扩张上存在泛二次型，则该扩张中全正整数的集合不具有 Northcott 性质。特别地，这意味着在所有全实 Galois 域（固定素数次数、基于 $\mathbb{Q}$）的复合域上不存在泛二次型。进一步，通过考虑全正单位元的无穷多平方类的存在性，我们证明在所有次数为 $3d$（对每个固定的奇整数 $d$）的此类域的复合域上不存在经典泛二次型。