基于张量范数比值估计的XOR博弈普适间隙

我们在一般概率论框架下定义并研究 XOR 博弈，该框架涵盖了所有预测能力满足最小要求的物理模型。XOR 博弈在局部或全局策略下的偏置分别被证明由某种内射或投射张量范数给出。因此，全局策略相对于局部策略的固有（即模型无关）优势与一个称为“投射-内射比值”的普适函数 $r(n,m)$ 相关联。其定义为最小常数 $\rho$，使得对所有维数为 $\dim X=n$ 和 $\dim Y=m$ 的 Banach 空间均有 $\|\cdot\|_{X\otimes_\pi Y}\leq\rho\,\|\cdot\|_{X\otimes_\varepsilon Y}$ 成立，其中 $X\otimes_\pi Y$ 和 $X \otimes_\varepsilon Y$ 分别为投射与内射张量积。通过要求 $X=Y$，可得上述比值的对称化版本，记为 $r_s(n)$。我们证明对所有 $n,m\geq 2$ 有 $r(n,m)\geq 19/18$，意味着内射与投射张量积从不为等距。随后我们研究 $r(n,m)$ 和 $r_s(n)$ 的渐近行为，表明除去对数因子：$r_s(n)$ 量级为 $\sqrt{n}$（此为紧的）；$r(n,n)$ 至少量级为 $n^{1/6}$；且 $r(n,m)$ 至少以 $\min\{n,m\}^{1/8}$ 增长。这些结果构成了我们对张量范数理论的主要贡献。在我们的证明中，基于 Pisier、Rudelson、Szarek 和 Tomczak-Jaegermann 思想的“$\ell_1$/$\ell_2$/$\ell_{\infty}$ 三分定理”起到了关键作用。我们得出的主要操作性结论是：一般 XOR 博弈中局部与全局策略之间存在普适间隙，且该间隙随最小局部维度的幂次增长。在量子情形下，我们能够将此间隙确定至普适常数倍。作为推论，我们获得了针对局部测量的最大量子数据隐藏效率缩放的改进界。