多人 XOR 博弈纠缠值的显式上下界

XOR 博弈是纠缠的非定域性得以显现的最简单模型。众所周知，在两玩家情形下，纠缠玩家相对于随机博弈的偏倚——即最大优势——至多是经典玩家优势的常数倍。近期，Pérez-García 等人 [Comm. Math. Phys. 279 (2), 2008] 证明，当玩家数为三人或更多时，此类界限不再成立：纠缠玩家相对于经典玩家的优势可以无界，并随博弈中问题数量而增长。他们的证明依赖于算子空间理论的重要结果，给出的是非显式的存在性证明，导致博弈的问题数量极大，且对玩家共享纠缠的局域维度控制很弱。我们给出了一族三人 XOR 博弈的新的、简单且显式（尽管仍为概率性）的构造，该博弈族实现了大的量子-经典差距（QC-gap）。就博弈规模而言，此 QC-gap 比 Pérez-García 等人给出的结果呈指数级增大，在每玩家 N² 个问题时实现了量级为 √N 的 QC-gap。就所需纠缠态的维度而言，我们在每玩家局域维度为 N 的态上实现了相同的（最优）√N 量级 QC-gap。此外，最优纠缠策略非常简单，涉及由泡利矩阵的张量积定义的可观测量。另外，我们给出了以每玩家问题数表示的 QC-gap 最大值的首个上界，表明我们的构造在该方面仅差一个平方因子。我们的结果依赖于对随机矩阵及高阶张量范数的概率估计，这些估计可能具有独立的研究意义。