Cauchy 积分的唯一性定理

若 $\mu$ 是复平面 $\C$ 上的有限复测度，我们用 $C^\mu$ 表示其主值意义下的 Cauchy 积分。如果测度 $\mu$ 是连续的（无原子）且 $C^\mu$ 在 $\mu$-几乎处处为零，则称 $\mu$ 为无反射测度。我们证明，如果 $\mu$ 是无反射测度且其 Cauchy 极大函数 $C^\mu_*$ 关于 $|\mu|$ 可积，则 $\mu$ 是平凡测度。我们还构造了一个极大函数属于“弱”$L^1$ 空间的无反射测度示例，从而证明上述结果在其尺度上是尖锐的。此外，我们给出了直线上无反射测度集合的部分几何描述，并讨论了我们的结果与 De Giorgi 意义下的有限周长集概念之间的联系。