含无序系统的梯度吉布斯测度的唯一性

我们在一致严格凸势 regimes 下考虑两种含无序的随机梯度模型版本。在模型 (A) 中，界面感受到随机场的体项，而在模型 (B) 中，无序通过作用于梯度的势进入。我们假设无序具有具有一致有界有限二阶矩的一般分布。众所周知，对于不含无序的梯度模型，在 $d = 2$ 维无限体积中不存在吉布斯测度，但存在平移不变的梯度吉布斯测度来描述场的梯度的无限体积分布，正如 Funaki 和 Spohn 所示。Van Enter 和 Kuelske 在 2008 年证明，在 $d = 2$ 维中，对于一般相互作用势，添加如模型 (A) 中的无序项会禁止此类梯度吉布斯测度的存在。在 Cotar 和 Kuelske (2012) 中，我们证明了当 $d\geq 3$ 且无序为独立同分布 (i.i.d.) 且均值为零时，模型 (A) 存在平移协变随机梯度吉布斯测度；以及当 $d\geq 1$ 且无序具有平稳分布时，模型 (B) 存在此类测度。在本文中，我们证明了具有给定期望倾斜 $u\in \mathbb{R}^d$ 且相应退火测度为遍历的平移协变随机梯度吉布斯测度的存在性和唯一性：对于模型 (A)，条件是 $d\geq 3$ 且无序随机场为独立同分布且对称分布；对于模型 (B)，条件是 $d\geq 1$ 且适用于任何平稳无序依赖结构。我们还计算了对于按照 Cotar 和 Kuelske (2012) 构建的两种模型的任意梯度吉布斯测度，当无序为独立同分布且其分布满足 Poincar\'e 不等式假设时，相对于对无序取平均后的梯度吉布斯测度，协方差的最优衰减率。