一类具有非凸势的梯度场的标度极限

我们考虑梯度场 $(\phi_x:x\in \mathbb{Z}^d)$，其分布取 Gibbs--Boltzmann 形式 $Z^{-1}\exp\{-\sum_{< x,y>}V(\phi_y-\phi_x)\}$，其中求和遍历最近邻。我们假设势 $V$ 容许如下表示 $$V(\eta):=-\log\int\varrho({d}\kappa)\exp\biggl[-{1/2}\kappa\eta^2\biggr],$$ 其中 $\varrho$ 是 $(0,\infty)$ 中具有紧支集的正测度。因此，势 $V$ 是对称的，但一般是非凸的。对于严格凸的 $V$，平移不变、遍历的梯度 Gibbs 测度完全由其倾斜度刻画，但如上所述的非凸势可能导致多个具有零倾斜度的遍历梯度 Gibbs 测度。尽管如此，上述势 $V$ 的每个遍历、零倾斜度梯度 Gibbs 测度都标度收敛于高斯自由场。