Potts 模型的 BP 不动点唯一性及其在社区检测中的应用

在稀疏随机块模型（SBMs）的研究中，常常需要分析一种称为置信传播（BP）递归的分布递归。该递归不动点的唯一性蕴含了关于 SBM 的若干结果，包括 SBM 的最优恢复算法（Mossel 等（2016））和带边信息的 SBM（Mossel 和 Xu（2016）），以及 SBM 互信息公式（Abbe 等（2021））。二社区情形对应于 Ising 模型，Yu 和 Polyanskiy（2022）对所有情形确立了唯一性。本文我们分析 $q$ 元 Potts 模型，即 $q$ 元自旋在期望子代度数为 $d$ 的 Galton-Watson 树上的广播，经由第二最大特征值为 $\lambda$ 的 Potts 信道进行。我们允许中间顶点通过噪声信道（边信息）被观测。我们证明，当 $d\lambda^2 \ge 1 + C \max\{\lambda, q^{-1}\}\log q$（其中绝对常数 $C>0$ 与 $q,\lambda,d$ 无关）时，无论有无边信息，BP 唯一性均成立。对于大 $q$ 且 $\lambda = o(1/\log q)$，这渐近地达到了 Kesten-Stigum 阈值 $d\lambda^2=1$。这些结果在相应范围内蕴含了 $q$ 社区 SBM 的互信息公式与最优恢复算法。对于 $q\ge 4$，Sly（2011）；Mossel 等（2022）证明了存在 $q,\lambda,d$ 的选择位于 Kesten-Stigum 阈值以下（即 $d\lambda^2 < 1$）但重构仍可行。有些令人惊讶的是，我们证明在此类机制下，至少在有弱边信息存在时 BP 唯一性不成立。我们的技术工具是一套我们在此开创的 $q$ 元对称信道理论，推广了经典且被广泛使用的 BMS（二元无记忆对称）信道的信息论刻画。