树上的信息流

考虑树网络 $T$，其中每条边作为给定信道 $M$ 的独立拷贝，信息从根节点传播。对哪些 $T$ 和 $M$，在 $T$ 的第 $n$ 层获得的构型通常包含关于根变量的显著信息？该问题在生物学、信息论与统计物理中独立出现。对所有 $b$，我们构造一个信道，使得该 $b$-叉树的根变量独立于该树第 2 层的构型，然而对充分大的 $B>b$，第 $n$ 层的 $B$-叉树的构型与根变量的互信息有远离零的下界。这与某些秘密共享协议有关。我们改进了非对称二元信道(对应于带外场的 Ising 模型)与对称 $q$-元信道(对应于 Potts 模型)上信息流的上界。令 $\lam_2(M)$ 表示 $M$ 的第二大特征值(按绝对值)。Kesten 与 Stigum~(1966) 的中心极限定理意味着若 $b |\lam_2(M)|^2 >1$，则 $b$-叉树任意层变量的“普查(census)”包含关于根变量的显著信息。我们建立其逆：若 $b |\lam_2(M)|^2 < 1$，则 $b$-叉树第 $n$ 层变量的普查渐近独立于根变量。这与某些例子形成对比，其中 $b |\lam_2(M)|^2 <1$，但第 $n$ 层的“构型”并非渐近独立于根变量。