点序列与划分的均匀分布

人们对均匀分布 (u.d.) 点序列（尤其是低偏差序列）的兴趣源于其多种应用。例如，低偏差序列（即偏差量级为 $((\log N)^d)/N$ 的序列，其中 $d$ 为序列所在空间的维数）是准蒙特卡洛方法在近似计算中获得更快收敛速度的基本工具。本工作的目标可概括如下：(1) 研究引入 $[0,1]$ 区间及分形集上新型 u.d. 点序列和划分类的显式技术；(2) 通过研究偏差，对 $[0,1]$ 区间上一类广义 Kakutani 序列的分布行为进行定量分析。针对 (1)，我们提出了一种算法，用于在由具有相同比例且满足其自然分量分离条件（称为开集条件 OSC）的相似变换迭代函数系统 (IFS) 生成的分形上构造 u.d. 划分序列和点序列。我们还给出了这些序列的基本偏差估计。通过使用近期对 $[0,1]$ 区间上 Kakutani 分裂程序的推广（即 $\rho-$ 细化技术），我们将这些结果推广到更广泛的分形类。首先，我们聚焦于 (2)，利用与连续 $\rho-$ 细化相关的树表示和由 Khodak 编码算法生成的树之间的对应关系，获得了一大类广义 Kakutani 序列偏差的精确界。随后，我们将 $\rho-$ 细化方法适配于新的分形类，并证明了以此类过程构造的划分序列的基本偏差界。