统一函子信号表示 II：范畴作用、基层次结构、作为基结构范畴的几何

在本文中，我们提出并研究了基结构范畴 $\mathcal{X} \rtimes_{\mathbf{F}} \mathbf{C}$, $\int_{\mathbf{C}} \bar{\mathbf{F}}$, $\mathcal{X} \rtimes_{\mathbb{F}} \mathbf{C}$ 和 ${\int_{\mathbf{C}} \bar{\mathbb{F}}}$ 的若干应用。首先，我们证明经典变换群胚 $X /\!\!/ G$ 简单地就是一个基结构范畴 ${\int_{\mathbf{G}} \bar{{F}}}$。然后利用有限集上的置换作用，我们引入基结构范畴层次 $[(\mathcal{X}_{2a} \rtimes_{\mathbf{F_{2a}}} \mathbf{B}_{2a}) \amalg (\mathcal{X}_{2b} \rtimes_{\mathbf{F_{2b}}} \mathbf{B}_{2b}) \amalg ...] \rtimes_{\mathbf{F_{1}}} \mathbf{B}_1$ 的概念，该概念将局部和全局结构建模为复合 Grothendieck 纤维化（composite Grothendieck fibration）的特例。进一步利用已有的变换双范畴 $(\mathcal{X}_{1} \rtimes_{\mathbf{F_{1}}} \mathbf{B}_{1}) /\!\!/ \mathbf{2G}$ 的概念，我们展示基的层次结构自然地将人们从2-群引导到 n-范畴理论。最后我们证明每个经典 Klein 几何都是 ${\mathbb{F}}: \mathbf{H} \xrightarrow{{F}} \mathbf{Man}^{\infty} \xrightarrow{U} \mathbf{Set}$ 的 Grothendieck 完备化（$\mathbf{G} = \mathcal{X} \rtimes_{\mathbb{F}} \mathbf{H}$）。这被推广以提出群胚几何 $(\mathcal{G},\mathcal{B})$（最初由 Ehresmann 通过 transport 构想，后来由 Leyton 使用 transfer 构想）的集论定义，其具有主群胚 $\mathcal{G} = \mathcal{X} \rtimes \mathcal{B}$ 和几何空间 $\mathcal{X} = \mathcal{G}/\mathcal{B}$；这本质上与 $\mathbf{G} = \mathcal{X} \rtimes_{\mathbb{F}} \mathbf{B}$ 相同，或者确切地说是 ${\mathbb{F}}: \mathbf{B} \xrightarrow{{F}} \mathbf{Man}^{\infty} \xrightarrow{U} \mathbf{Set}$ 的完备化。