一维中谱隙的不可判定性

谱隙问题——确定一个系统的能谱在基态之上是否存在能隙，或是否存在连续的低能激发谱——遍及量子多体物理。近期，这一重要问题被证明对二维（或更高维）量子自旋系统是不可判定的：不存在能普遍判定一个系统是有隙还是无隙的算法，这一结果对此类系统的物理有许多意外后果。然而，许多迹象表明一维自旋系统比高维对应系统更简单：例如，它们不能有热相变或拓扑序，并且存在如 DMRG 般高效的数值算法——甚至可证明为多项式时间的算法——用于有隙一维系统，这利用了此类系统服从熵面积律的事实。此外，谱隙不可判定性构造关键依赖于非周期镶嵌，而一维中不可能实现。那么谱隙问题在一维中是否变得可判定？本文中我们证明情况并非如此，通过构造一族具有平移不变近邻相互作用的一维自旋链，对之不存在能判定谱隙是否存在的算法。这不仅证明了一维系统的谱隙与高维一样难以处理，还预言了一维自旋链中定性新型复杂物理的存在。特别地，它意味着存在这样的一维系统：在所有系统尺寸直至一个不可计算的大尺寸之前具有常谱隙和非简并经典基态，此后切换为具有稠密谱的无隙行为。