平滑自适应有限元方法的无条件全线性收敛与准最优复杂度
数值分析
2026-01-29 v1 数值分析
摘要
我们提出了对平滑自适应有限元方法 (S-AFEM) 第一次严格的收敛分析。S-AFEM 通过仅在周期确定的网格水平上执行准确离散求解，而中间水平采用固定数量的廉价平滑迭代来修改经典自适应有限元方法 (AFEM)。该方法生成的自适应网格与 AFEM 相当，却在计算成本上显著降低。本文证明了合适的准误差量满足无条件全 R 线性收敛，并且对于足够小的自适应参数，具有相对于总计算成本的最优收敛率。该分析仅要求平滑器具备温和的均匀稳定性假设，适用于 Richardson、Gauss-Seidel、共轭梯度和多网格等标准方法。我们的结果适用于一般二阶线性椭圆 PDE，表明 S-AFEM 在保留 AFEM 所有期望的抽象收敛保证的同时，显著降低了累计计算时间。数值实验验证了理论，分析了运行性能，并凸显了 S-AFEM 在加速 AFEM 计算方面的潜力。
引用
@article{arxiv.2601.20677,
title = {Unconditional full linear convergence and quasi-optimal complexity of smoothed adaptive finite element methods},
author = {Philipp Bringmann and Christoph Lietz and Dirk Praetorius},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.20677},
year = {2026}
}