主平移不变空间中的不确定性原理与 Balian-Low 型定理

在本文中，我们考虑了实直线上具有附加平移不变性的主平移不变空间生成元的时频局部化。我们证明，如果实直线上的一个主平移不变空间是平移不变的，那么它的任何正交（或 Riesz）生成元都是不可积的。然而，对于任意$n\ge2$，存在实直线上的主平移不变空间，它们也是$\nZ$-不变的，且具有可积的正交（或 Riesz）生成元$\phi$，但对于任意$\epsilon>0$，$\phi$满足$\int_{\mathbb R} |\phi(x)|^2 |x|^{1+\epsilon} dx=\infty$，并且其傅里叶变换$\hat\phi$的衰减速度不可能达到$(1+|\xi|)^{-r}$（对于任意$r>1/2$）。我们构造了例子以证明上述正交生成元在时域和频域的衰减性质是最优的。