共振下耦合非对称振子系统的无界解

我们处理如下耦合非对称振子系统 $$\begin{cases} \ddot{x}_1+a_1x_1^+-b_1x^-_1+\phi_1(x_2)=p_1(t) \\ \ddot{x}_2+a_2\,x_2^+-b_2\,x^-_2+\phi_2(x_1)=p_2(t) \end{cases}$$ 其中 $\phi_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是局部 Lipschitz 连续且有界的，$p_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是连续且 $2\pi$-周期的，正实数 $a_i, b_i$ 满足 $$\dfrac{1}{\sqrt{a_i}}+\dfrac{1}{\sqrt{b_i}}=\dfrac{2}{n}, \quad \mbox{ for some } n \in \mathbb{N}.$$ 我们定义一个合适的函数 $L: \mathbb{T}^2 \to \mathbb{R}^2$，它作为标量情形中著名的共振函数的高维推广出现，并说明当 $L$ 具有特殊结构的零点时，如何构造系统的无界解。证明依赖于在作用-角坐标下对关联（四维）Poincaré 映射动力学的细致考察。