素数、阿贝尔群及其他离散结构的典型 Ramsey 属性

给定具有整数元素的矩阵 $A$，子集 $S$ 属于阿贝尔群且 $r \in \mathbb{N}$，若对任意 $r$ 色彩的 $S$ 均会产生单色解 $Ax=0$，则称 $S$ 为 $(A,r)$-Rado。经典的 Rado 定理刻画了所有使得 $\mathbb{N}$ 对所有 $r \in \mathbb{N}$ 均为 $(A,r)$-Rado 的矩阵 $A$。R"odl 和 Ruci\'nski 以及 Friedgut、R"odl 和 Schacht 证明了一个随机版本的 Rado 定理，即考虑 $[n]:=\{1,\dots,n\}$ 的随机子集。本文检讨了在更一般的阿贝尔群设置下对应的随机 Ramsey 问题。给定序列 $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 的有限子集 $S_n$ 的随机子集 $S_{n,p}$ 通过独立以概率 $p$ 包含 $S_n$ 的每个元素来获得。我们关注确定概率阈值 $\hat{p}:=\hat{p}(n)$，使得 $$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} [ S_{n,p} \text{ is } (A,r)\text{-Rado}]= \begin{cases} 0 &\text{ if } p=o(\hat{p}); \\ 1 &\text{ if } p=\omega(\hat{p}). \end{cases}$$ 我们的主要结果——我们称之为随机 Rado 引理——是一个通用的黑盒，用于解决此类问题。结合一系列超饱和结果，我们确定了不同情形下的概率阈值。一个 consequence of the Green-Tao theorem is the van der Waerden theorem for the primes: every finite colouring of the primes contains arbitrarily long monochromatic arithmetic progressions. Using our machinery, we obtain a random version of this result. We also prove a novel supersaturation result for $S_n:=[n]^d$ and use it to prove an integer lattice generalisation of the random version of Rado's theorem. Various threshold results for abelian groups are also given.