单方程的非对称随机 Rado 定理：$0$-陈述

Rado 的一个著名结果刻画了那些可分配正则的整数矩阵 $A$，即对于任何正整数有限着色，方程 $Ax=0$ 都存在单色解。Aigner-Horev 和 Person 最近给出了关于二项随机集 $[n]_p$ 具有非对称随机 Rado 性质的概率阈值的猜想：给定可分配正则矩阵 $A_1, \dots, A_r$（固定 $r \geq 2$），无论怎样对 $[n]_p$ 进行 $r$-着色，总存在颜色 $i \in [r]$ 使得方程 $A_i x=0$ 有 $i$-着色解。这推广了由 Rödl 和 Ruciński 以及 Friedgut、Rödl 和 Schacht 解决的对称情形。Aigner-Horev 和 Person 证明了其非对称猜想的 $1$-陈述。在本文中，我们在 $A_i x=0$ 对应于单个线性方程的情形下解决了 $0$-陈述。此外，我们弥补了（对称）随机 Rado 定理的 0-陈述原始证明中的一个漏洞。