解决关于线性齐次方程正则度的一个猜想

如果一个线性方程对于正整数的任意 $r$-着色，都存在满足该方程的同色正整数，则称该方程是 $r$-正则的。2005 年，Fox 和 Radoicic 猜想对于任意 $n \geq 2$，方程 $x_1 + 2x_2 + \cdots + 2^{n-2}x_{n-1} - 2^{n-1}x_n = 0$ 的正则度为 $n-1$，这将验证 Rado 于 1933 年提出的一个猜想。Rado 的猜想此后已通过另一族方程得到验证。在本文中，我们证明了 Fox 和 Radoicic 的方程族确实具有 $n-1$ 的正则度。我们还提供了该结果的一些推广。