哈密顿两百年之后：经典力学背后的简单公理

1834–1835 年，哈密顿发表了两篇革新经典力学的论文。在这些论文中，他引入了哈密顿-雅可比方程、哈密顿运动方程以及最小作用量原理。经典力学的这三种表述成为了量子力学的先驱，但它们均非哈密顿所求：他寻找的是他称之为主函数的东西，即 $S(q',q'',T)$，仅凭微分便可从中获得完整的轨迹历史。在此我们表明，哈密顿的所有表述均可仅通过假设主函数具有可加性而导出，即 $S(q',q'',T)=S(q',Q,t_1)+S(Q,q'',t_2)$，其中 $t_1+t_2=T$。这一简单的可加性公理可被视为经典力学的基本原理，并表明分析力学本质上只是寻找两点间最短路径问题的注脚。该表述的简洁性可为经典力学中的一些主要主题提供新视角，包括辛几何、周期轨道理论与莫尔斯理论，同时也为量子力学提供新视角。此外，它有可能为物理学的不同领域提供统一描述，从而带来洞见，例如对从确定性动力学到统计力学之过渡的理解。