从经典力学到量子力学：“如何将物理思想转化为数学语言”

在本文中，我们通过将量子理论分为两部分来研究经典力学与量子力学之间的联系：- 一般量子公理学（系统由希尔伯特空间中的态描述，可观测量是自伴算子等）- 量子力学本身，它具体规定了希尔伯特空间、海森堡规则、自由哈密顿量……我们表明，一般量子公理学（加上一个补充的“经典性公理”）可以用作一个非标准的数学基础，来表述所有经典统计力学的思想和方程。因此，“真正的量子化”与“h”的问题必须被视为一个独立的问题，与量子形式体系没有直接关系。此外，这种经典力学的非标准表述展示了一种新的、没有经典对应物的运算：这种运算与“量子化过程”有关，我们说明了为什么量子化在物理上依赖于群论（伽利略群）。这种量子化的解析程序取代了“对应原理”（或正则量子化），并允许将经典力学映射到量子力学，给出量子力学的所有算符和薛定谔方程。此外，粒子的自旋也被自然地产生，包括它们与磁场相互作用的近似。我们还发现，这种方法给出了一种自然的半经典形式体系：一些精确的量子结果仅使用类经典公式即可获得。因此，这个过程具有以更易理解的方式阐明经典与量子图像之间逻辑和分析联系的优良特性。