关于稀疏序列的两个 Erdős 问题：色数与丢番图逼近

设 ${n_k}$ 为递增稀疏序列，即 $n_{k+1}/n_k>1+r$，其中 $r>0$。1987 年，P. Erdős 提出一个问题：在整数上的图 $G$ 中，若两个整数 $a,b$ 的差 $|a-b|$ 属于序列 ${n_k}$，则它们之间有边相连，求该图的色数。Y. Katznelson 发现了与一个丢番图逼近问题（亦由 Erdős 提出）的联系：存在 $x\in(0,1)$ 使得所有倍数 $n_j x$ 与整数集的距离均至少为 $\delta(x)>0$。Katznelson 用 $Cr^{-2}|\log r|$ 界定了图 $G$ 的色数。我们应用 Lovász 局部引理证明了存在某个 $x$ 使得 $\delta(x)>cr|\log r|^{-1}$，由此推出图 $G$ 的色数至多为 $Cr^{-1}|\log r|$。在忽略对数因子的意义上，该结果是紧的。