通过一维仿射与小波格作用实现的二维香农型展开

这是相当出乎意料但真实的情况：仅通过对生成函数 $\psi(x_1,x_2)$（$\psi \in L^2 (\mathbb{R}^2)$）的第一个变量 $x_1$ 施加标准的一维小波平移和伸缩作用，即利用构造块 $$\psi_{u,s}(x_1,x_2)=s^{-1/2}\psi\left(\frac{x_1-u}{s},x_2\right), \text{where } u\in \mathbb{R}, s>0,$$（在再生公式的情形），以及 $$\psi_{k,m}(x_1,x_2)=2^{-k/2} \psi\left(\frac{x_1-2^k m}{2^k},x_2 \right), \text{where } k,m\in \mathbb{Z},$$（在标准正交基的情形），就有可能构造出 $L^2 (\mathbb{R}^2)$ 的再生公式和标准正交基。由于第二个变量 $x_2$ 未受作用，这一事实可以通过谨慎选择生成函数 $\psi$ 来补偿。对应于香农小波的正交性与完备性现象的标准图示——时间-频率平面 $\mathbb{R}^2$ 的香农小波平铺 $$\chi_{(2^km,2^k(m+1)]}(x) \chi_{2^{-k}I}(\xi),\, k,m\in \mathbb{Z}, \,I=- (1/2,1]\cup (1/2,1],$$（其中 $x$ 表示时间，$\xi$ 表示频率）——被 $\mathbb{R}^4$ 的相空间平铺所替代，其具有无界双曲面型块，形式为 $$\chi_{(2^km,2^k(m+1)]}(x_1)\sum_{n,l}\chi_{2^{-k}I_{D(n,l)}}(\xi_1) \chi_{(n,n+1]}(x_2)\chi_{(l,l+1]}(\xi_2),\, k,m\in \mathbb{Z}$$ 其中 $I_r=2^{-r}I$，$r\ge 1$，且 $D:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ 是一个双射，它是生成函数从 $L^2(\mathbb{R})$ 提升到 $L^2(\mathbb{R}^2)$ 所需的附加参数。变量 $x_1,x_2$ 是位置坐标，$\xi_1,\xi_2$ 是动量坐标。