涉及四个勒让德函数乘积的两个定积分

定积分 $\int_{-1}^1x[P_\nu(x)]^4\,\mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^1x[P_\nu(x)]^2\{[P_\nu(x)]^2-[P_\nu(-x)]^2\}\,\mathrm{d} x$ 被以闭式求出，其中 $P_\nu$ 表示次数为 $\nu\in\mathbb C$ 的勒让德函数。这些积分公式的特殊情形曾出现于自守格林函数与Epstein zeta函数的算术研究中。