关于三个 Legendre 函数乘积上的某些积分

本文以闭式计算了定积分 $\int_{-1}^1(1-x^2)^{(\nu-1)/2}[P_\nu(x)]^3\D x$、$\int_{-1}^1(1-x^2)^{(\nu-1)/2}[P_\nu(x)]^2P_{\nu}(-x)\D x$、$\int_{-1}^1x(1-x^2)^{(\nu-1)/2}[P_{\nu+1}(x)]^3\D x$ 和 $\int_{-1}^1x(1-x^2)^{(\nu-1)/2}[P_{\nu+1}(x)]^2P_{\nu+1}(-x)\D x$，其中 $P_\nu$ 是次数为 $\nu$ 的 Legendre 函数，且 $\R\nu>-1$。这些公式的特殊情形与某些具有算术意义的椭圆积分上的积分相关。